1. Tổng quan lý thuyết về các mệnh đề
Dựa trên các khái niệm cơ bản được đề cập trong sách giáo khoa đại số lớp 10, mệnh đề được định nghĩa là một câu khẳng định có thể được đánh giá là đúng hoặc sai. Hoặc học sinh có thể hiểu rằng một phát biểu toán học không thể vừa đúng vừa sai.
2. Điều khoản tương đương
2.1. Mệnh đề cơ sở của mệnh đề tương đương
Để hiểu được bản chất của mệnh đề tương đương, chúng ta cần nắm chắc các dạng mệnh đề cơ bản, mệnh đề nghịch đảo, v.v.
2.1.1. Các điều khoản tiếp theo
-
Khái niệm:
Cho p và q là hai mệnh đề độc lập. Có một mệnh đề “if p then q” được gọi là một mệnh đề tiếp theo.
Biểu tượng mệnh đề kết thúc: $ p rightarrow q $. Mệnh đề $ p rightarrow q $ được diễn đạt bằng lời nói: “p theo sau q”, “q do p”, “p suy ra q”, …
Ví dụ về mệnh đề sau:
Cho 2 mệnh đề a: “3 chia hết cho 2” và mệnh đề b: “4 chẵn”. Khi đó $ a rightarrow b $ được biểu thị là: “Nếu 3 chia hết cho 2 thì 4 là số chẵn”.
Lưu ý rằng bạn cần biết thêm về cách kéo hai chiều trong phần kéo các mệnh đề. Điện trở hai chiều được hiểu là mệnh đề p kéo theo mệnh đề q và ngược lại. Được đại diện bởi $ p rightarrow q $, đọc “p iff q” hoặc “p iff q”. Mệnh đề sau chỉ đúng nếu p và q có cùng giá trị chân lý.
Ví dụ về điều khoản kéo hai chiều như sau:
Tam giác abc vuông tại a nếu và chỉ khi $ bc ^ {2} = ab ^ {2} + ac ^ {2} $ là một câu lệnh đúng, bởi vì nếu tam giác abc vuông tại a, thì chúng ta có có thể suy ra phương trình $ bc ^ {2} = ab ^ {2} + ac ^ {2} $ từ định lý pi-ta-go.
-
Các mệnh đề sau đúng hay sai:
Xét ví dụ sau: Cho mệnh đề p: “Tôi có 1 triệu đồng Việt Nam”, q: “3 là số nguyên tố”. Khi đó biểu thức của mệnh đề pq là: “Nếu tôi có 1 triệu đồng thì số 3 là số nguyên tố”.
Trong ví dụ trên, chúng ta thấy rằng $ p rightarrow q $ cho biết điều gì có vẻ là một câu lệnh sai. Tuy nhiên, đôi khi mệnh đề $ p rightarrow q $ hơi khó phân biệt các giá trị chân lý khi được diễn đạt bằng lời.
Từ đó, các mệnh đề sau được coi là đúng hay sai theo quy tắc: Mệnh đề pq chỉ sai nếu p đúng và q sai.
Chúng tôi có bảng chân lý cho các mệnh đề sau:
Khi xem xét câu lệnh $ p rightarrow q $, chúng ta không quan tâm liệu p có phải là nguyên nhân của q hay không mà chỉ quan tâm đến việc hai câu lệnh đúng hay sai. Vì $ p rightarrow q $ chỉ sai nếu p đúng hoặc q sai, khi chứng minh rằng $ p rightarrow q $ là đúng, chúng ta chỉ xét trường hợp cả p và q đều đúng.
2.1.2. Điều khoản đảo ngược
Chúng tôi có một điều khoản kéo $ p rightarrow q $. Sau đó, mệnh đề $ q rightarrow p $ là nghịch đảo của mệnh đề kéo $ p rightarrow q $ đã cho.
Tìm hiểu các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về các mệnh đề đảo ngược:
Đối với phát biểu “Nếu một tam giác là góc vuông, thì bình phương cạnh huyền của tam giác đó bằng tổng bình phương của hai cạnh.” Nghịch đảo của phát biểu trên là: “Nếu hình vuông của một cạnh bằng bình phương của hai cạnh còn lại và khi đó tam giác đó là tam giác vuông ”.
Coi rằng phát biểu trên là phát biểu của định lý Pitago. Do đó, mệnh đề đã cho là đúng.
Lưu ý rằng khi xem xét tính đúng hay sai của một mệnh đề nghịch đảo, mệnh đề nghịch đảo không chắc là một phát biểu đúng khi mệnh đề đúng là đúng. Ví dụ sau sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn điều này:
Phát biểu đúng cho “hai tam giác đồng dạng bằng nhau”. Mệnh đề nghịch đảo “hai tam giác là tam giác đồng dư” là một phát biểu sai.
2.2. Định nghĩa mệnh đề tương đương
Mệnh đề tương đương về cơ bản là một trường hợp đặc biệt của mệnh đề nghịch đảo. Câu nói tương đương như sau:
Nếu cả câu lệnh thuận $ p rightarrow q $ và câu lệnh ngược $ q rightarrow p $ đều đúng, thì p và q được gọi là các câu lệnh tương đương, được ký hiệu là $ p rightarrow q $.
Có 4 cách để đọc mệnh đề tương đương:
- p tương đương với q.
- p nếu và chỉ khi q.
- p nếu và chỉ khi q.
- p alf cần thiết và một điều kiện đủ để q.
Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về mệnh đề tương đương:
Đối với mệnh đề p: “Một tứ giác có 3 góc vuông”. Mệnh đề q: “Hình tứ giác là hình chữ nhật”. Mệnh đề pq tương đương là: “Một tứ giác có 3 góc vuông nếu và chỉ khi tứ giác đó là hình chữ nhật”.
3. Tổng hợp thực hành mệnh đề tương đương tùy chọn
Câu 1: Đối với tam giác abc, xét mệnh đề sau:
p: “Tam giác abc vuông góc ở đỉnh a”
q: “Tam giác abc là tam giác vuông có các cạnh là ab = ac”
Phát biểu sự tương đương của p và q theo hai cách. Câu này đúng hay sai?
Câu 2: Hãy xem các câu sau đây là đúng hay sai. Nếu câu lệnh sai, vui lòng sửa lại cho đúng:
-
Một tam giác đều abc Một tam giác abc có ít nhất một góc bằng 60 độ.
có nghiệm kép $triangle b^2-4ac=0$.
Tam giác abc cân tại a và các chiều cao của tam giác là và cf có cùng độ dài.
$forall a,bin mathbb{R}$:
Câu 3: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Tổng của hai số tự nhiên là chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều chẵn.
b. Tích của hai số tự nhiên là chẵn và chỉ khi cả hai số đều chẵn.
c. Tổng của hai số tự nhiên là lẻ nếu và chỉ khi cả hai số đều lẻ.
d. Tích của hai số tự nhiên là lẻ nếu và chỉ khi cả hai số đều lẻ.
Câu 4: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. “abc là tam giác đều $ leftrightarrow $ tam giác cân abc.
b. “abc là tam giác đều $ leftrightarrow $ Tam giác abc là tam giác cân với một góc bằng 60 độ.
c. “abc là tam giác đều $ leftrightarrow $ abc là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
d. “abc là tam giác đều $ leftrightarrow $ Tam giác abc có hai góc bằng 60 độ.
Câu 5: Phát biểu mỗi câu sau sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”
a) Một số có tổng chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Hình bình hành có các đường chéo vuông góc là hình thoi và ngược lại
c) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm khác nhau khi và chỉ khi nghiệm phân biệt của nó là dương.
Giải thích chi tiết
Câu 1: cho tam giác abc và 2 mệnh đề:
p: “Tam giác abc vuông góc ở đỉnh a”
q: “Tam giác abc là tam giác vuông có các cạnh là ab = ac”
pq: Tam giác abc cân tại đỉnh a nếu và chỉ khi tam giác abc là tam giác vuông có 2 cạnh ab = ac.
pq: Tam giác vuông abc cân tại đỉnh a là tam giác vuông abc có hai cạnh ab = ac điều kiện cần và đủ.
Từ đó, chúng ta có thể suy ra rằng pq là đúng.
Phần 2:
-
Một tam giác đều abc Một tam giác abc có ít nhất một góc bằng 60 độ. Chúng tôi thấy:
abc là tam giác đều $ rightarrow $ tam giác abc có ít nhất một góc bằng 60 độ (đúng)
Tam giác abc có ít nhất một góc bằng 60 độ $ rightarrow $ tam giác abc là tam giác đều (sai).
Vì vậy, phát biểu trên là sai.
Chỉnh sửa: Tam giác đều abc $ rightarrow $ tam giác abc có ít nhất một góc bằng 60 độ.
-
có nghiệm kép $triangle b^2-4ac=0$.
Mệnh đề trên đúng vì a => b đúng và b => a đúng.
-
Tam giác abc cân tại a và các chiều cao của tam giác và cf có cùng độ dài.
Điều này đúng vì a = & gt; b và b = & gt; a đều đúng.
-
$forall a,bin mathbb{R}$:
Chúng tôi đã thấy:
$forall a,bin mathbb{R}$:
=> a > c là mệnh đề đúng.
$forall a,bin mathbb{R}$: a>c =>
Vì vậy, phát biểu trên là sai.
Sửa lại: $forall a,bin mathbb{R}$:
Phần 3: Chọn d
a là một phát biểu sai: ví dụ: 1 + 3 = 4 là chẵn, nhưng 1,3 là lẻ.
b là một phát biểu sai: ví dụ: 2.3 = 6 là chẵn, nhưng 3 là lẻ.
c là một phát biểu sai: ví dụ: 1 + 3 = 4 là chẵn, nhưng 1,3 là lẻ.
Phần 4: Chọn một.
Mệnh đề kéo “abc là tam giác đều =>; tam giác abc là cân” là đúng, nhưng mệnh đề ngược “abc cân => abc là tam giác đều” là sai.
Như vậy, hai câu lệnh “abc là tam giác đều” và “abc cân” không phải là câu lệnh tương đương.
Phần 5:
a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
b) Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi là tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
c) Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm khác nhau là vi phân của nó dương
Trên đây là tóm tắt lý thuyết và giải bài tập chi tiết các mệnh đề tương đương. Học sinh có thể lấy đây làm tài liệu tham khảo, ứng dụng và ghi nhớ để sử dụng thành thạo hơn loại mệnh đề này. Ngoài ra, để tìm hiểu thêm các kiến thức toán lớp 10, toán THPT, … hãy truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký lớp học tại đây!
-
-
-
-
-
