Tính chất chủ đề tứ giác nội tiếp là một bài học quan trọng trong chương trình học môn Toán lớp 9. Tuy nhiên, không phải học sinh nào cũng có kiến thức này. Tứ giác nội tiếp là gì? giaingo sẽ cùng các bạn hệ thống hóa kiến thức và ôn tập kỹ hơn nhé!
Thế nào là tứ giác nội tiếp?
Một tứ giác nội tiếp là một tứ giác có cả bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng dư. Tâm và bán kính của đường tròn lần lượt được gọi là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp.
Thông thường các tứ giác nội tiếp là các tứ giác lồi, nhưng các tứ giác lõm nội tiếp cũng tồn tại. Các công thức trong bài viết này chỉ áp dụng cho các tứ giác lồi.
Tính chất của tứ giác
Tính chất 1: Trong tứ giác nội tiếp abcd, tâm của các đường tròn nội tiếp m1, m2, m3 và m4 của các tam giác dab, abc, bcd và cda là bốn đỉnh của Hình chữ nhật Đây là một phát biểu của định lý Nhật Bản về một tứ giác nội tiếp.
Ngoài ra, tâm vuông góc của bốn tam giác trên là đỉnh của tứ giác nội tiếp tứ giác abcd, và trọng tâm của bốn tam giác này cũng tạo thành một tứ giác nội tiếp.
Tính chất 2: Trong một tứ giác nội tiếp abcd và đường tròn ngoại tiếp o, gọi p là giao điểm của ac và bd. Ta có số đo góc apb là trung bình cộng của số đo hai góc aob và cod. Đây là hệ quả trực tiếp của định lý góc trong và định lý góc ngoài.
Tính chất 3: Không có tứ giác nội tiếp nào mà diện tích và số đo là số hữu tỉ có bốn cạnh phân biệt.
Tính chất 4: Nếu hai cặp cạnh đối của tứ giác cắt nhau tại e và f thì đường phân giác của hai góc trong của đỉnh e và f vuông góc với nhau
Đặc điểm của tứ giác nội tiếp
Sau đây là các đặc điểm của tứ giác nội tiếp:
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh.
- Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc đối diện là góc vuông thì tâm của tứ giác nội tiếp là góc vuông. Đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối hai đỉnh còn lại.
- Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc vuông cùng phía thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của các cạnh mà hai góc đó nằm. cùng xem.
Các công thức liên quan đến tứ giác nội tiếp
Công thức diện tích tứ giác nội tiếp
Công thức tính diện tích tứ giác của một hình cụ thể như sau (được biểu thị bằng s)
Tính diện tích hình tứ giác đều:
Trong đó: a, b, c, d là độ dài các cạnh
Công thức đường chéo nội tiếp tứ giác
Trong một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh a, b, c, d và các cạnh a = ab, b = bc, c = cd, d = da, độ dài các đường chéo p = ac và q = bd có thể được cho bởi công thức cho
p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d { displaystyle p = { sqrt { frac {(ac + bd) (ad + bc)} {ab + cd}}}} và q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c { displaystyle q = { sqrt { frac {(ac + bd) (ab + cd)} {ad + bc}}}}
Công thức tính các góc trong tứ giác và quan hệ giữa các góc
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối diện là 180∘180∘. Một tứ giác là một đường tròn nếu tổng các số đo của hai góc đối diện của nó bằng 180∘180∘.
Ví dụ, trong hình 11, tứ giác abcdabcd nội tiếp có ^ a + ^ c = 180∘; ^ b + ^ d = 180∘a ^ + c ^ = 180∘; b ^ + d ^ = 180∘.
Lưu ý: Hình chữ nhật, hình vuông và hình thang cân đều nội tiếp được trong hình tròn trong các hình đã học.
Công thức tham số của bán kính đường tròn ngoại tiếp
Hình tứ giác nội tiếp với độ dài các cạnh a, b, c, d và nửa chu vi s; độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp được xác định theo công thức sau: [11] [18]
r = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s – a) (s – b) (s – c) (s – d). { displaystyle r = { frac {1} {4}} { sqrt { frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d ))}}}.}. Công thức được phát hiện bởi nhà toán học Ấn Độ vatasseri parameshvara vào thế kỷ 15.
Sử dụng công thức brahmagupta, công thức parameshvara có thể được trình bày lại thành:
4 k r = (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) { displaystyle 4kr = { sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}}} trong đó k là diện tích của tứ giác nội tiếp.
Các dạng câu hỏi về tứ giác nội tiếp
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Giải pháp: Để chứng minh một tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
- Phương pháp 1. Chứng minh rằng tổng hai góc kép của một tứ giác bằng 180 °.
- Cách 2. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau, thấy cạnh chứa các đỉnh còn lại nhỏ hơn hai đỉnh của góc α.
- Phương pháp 3. Chứng minh tứ giác có góc bên ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Cách 4. Tìm một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác.
Bài tập 1.1: Cho tam giác nhọn abc, các đường cao bm và cn cắt nhau tại h. Chứng minh rằng các tứ giác amhn và bnmc là các tứ giác nội tiếp.
Bài tập 1.2: Đặt điểm bên ngoài đường tròn (o) và kẻ hai tiếp tuyến ab và ac (b, c đều là tiếp tuyến) của đường tròn qua a. Chứng tỏ rằng tứ giác Board là tứ giác nội tiếp.
Bài toán 2.1: Cho tứ giác abcd (o) nội tiếp, m là trung điểm của cung ab. Nối m với d, m với c và cắt ab lần lượt tại e và p. Chứng minh rằng pedc là một tứ giác nội tiếp.
Bài tập 2.2: Cho tam giác nhọn abc nội tiếp đường tròn (o). m là một điểm trên đường tròn. Tại h vẽ mh vuông góc với bc và mi vuông góc với ac. Chứng tỏ mihc là tứ giác nội tiếp.
Giải pháp:
Dạng 2: Tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, đoạn thẳng đồng dạng, tam giác song song hoặc thẳng hàng, đồng dạng …
Bài tập 3.1. Cho đường tròn (o) đường kính ab. Gọi h là điểm giữa o và b. Vẽ đường thẳng cd tại h vuông góc với ab. Lấy điểm e trên cung nhỏ ac và vẽ ck ae thẳng đứng tại k. Đường de cắt ck tại f. Bằng chứng:
a) Tứ giác ahck là tứ giác nội tiếp;
b) ah.ab = ad2
c) Tam giác ace là tam giác cân.
Giải pháp:
Bài tập 3.2. Đối với nửa (o) đường kính ab. Cho m thuộc oa (m không trùng với o và a). Vẽ đường thẳng d qua m vuông góc với ab. trên d lấy n sao cho trên> r. Thêm nb cut (o) tại c. Vẽ tiếp tuyến ne với (o) (e là tiếp tuyến, e và a nằm trong nửa mặt phẳng có bờ d). Bằng chứng:
a) Bốn điểm o, e, m, n nằm trên cùng một đường tròn;
b) ne2 = nc.nb;
c) Angle neh = angle nme (h là giao điểm của ac và d);
d) nf là tiếp tuyến của f (o) là giao điểm của he và (o)
Giải pháp:
Bài viết trên của Giaingo chia sẻ chủ đề về tính chất tứ giác nội tiếp và các dạng bài tập cơ bản liên quan đến bài toán này. Mong bạn chăm chỉ học tập. Hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo!