Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti

Bạn đang quan tâm đến: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti | Maths 4 Physics & more tại Soloha.vn

Phương trình vi phân tuyến tính là gì

Liên kết ngắn: http://wp.me/p8gtr-my

1. Định nghĩa:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng:

$y' = -p(x).y+q(x)$ (1) (hay $y'+p(x).y=q(x)$ )

trong đó p (x), q (x) là các hàm liên tục.

Nếu q (x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một mạnh .

Nếu q (x) ≠ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất.

2. Giải pháp:

2.1 Phương pháp 1: Phép nhân tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số $e^{int p(x) , dx }$

Chúng tôi nhận được:

$y'.e^{int p(x) , dx} + p(x).e^{int p(x) , dx}.y=q(x)e^{int p(x) , dx}$ (*)

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số $y.e^{int p(x) , dx}$ . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

$left( y.e^{int p(x) , dx} right)^{'} = q(x).e^{int p(x) , dx}$

Đưa ra các quan điểm của cả hai bên và chúng tôi nhận được:

$y.e^{int p(x) , dx} = int q(x).e^{int p(x) , dx} , dx + C$ .

Vậy dạng nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

$y=e^{-{int p(x) , dx}}. left[ int q(x).e^{int p(x) , dx} , dx + C right]$

Lưu ý: Hàm p (x) là hệ số khi hệ số của y ‘bằng 1.

Ví dụ: Giải phương trình $y' + 2x.y = 4x$

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số $e^{int 2x , dx} = e^{x^2}$ .

Ta đươc: $y'.e^{x^2} + 2xe^{x^2}.y = 4x.e^{x^2}$

Hay:

${ dfrac{d}{dx}} left( y.e^{x^2} right) = 4x.e^{x^2}$

Tích hợp cả hai mặt mà chúng tôi nhận được:

$y.e^{x^2} = 4{int x.e^{x^2} , dx} + C = 2e^{x^2} + C$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: $y = 2 + C.e^{-x^2}$

2.2 Chế độ 2: Phương pháp Bernoulli (pp giải quyết dưới dạng sản phẩm)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: $y = u(x).v(x)$

Ta có: $y' = u'.v + v'.u$

Thế vào phương trình ta có: $(u'.v+v'.u)+p(x).(u.v) = q(x)$

Hay: $(u'+p(x).u)v + v'.u = q(x)$ (*)

Phương trình (*) có nhiều nhất 4 tham số u, v, u ‘, v’ chưa biết nên không giải được u, v nào. Để tìm u, v thỏa mãn đẳng thức (*), ta cần chọn u, v để loại hàm số chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho $u' + p(x).u = 0$ (**)

Chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy một hàm u (x) thỏa mãn (**) vì (**) là một phương trình phân tách các biến. Sau đó:

${ dfrac{du}{u}}=-p(x)dx Rightarrow u(x)=C.e^{- int p(x) , dx}$

Chọn C = 1 ta có: $u(x) = e^{- int p(x) , dx}$

Vì vậy, chúng ta có thể tìm thấy hàm u (x), vì vậy từ (*), chúng ta sẽ có:

$v' = { dfrac{q(x)}{u(x)}} = q(x).e^{int p(x) , dx} Rightarrow v = int q(x).e^{int p(x) , dx} , dx + C_1$

Vì vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

$y = e^{- int p(x) , dx} left[ int q(x)e^{int p(x) , dx} + C_1 right]$

2.3 Phương pháp 3: Phương pháp larrange (pp biến đổi không đổi)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng $y = u(x).v(x)$ với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: $u(x) = C.e^{- int p(x) , dx}$

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: $y =e^{- int p(x) , dx}.v(x)$ chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).

Vì vậy, chúng ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và thay hằng số c vào hàm chúng ta cần tìm v (x) để giải bài toán. Vì vậy:

Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp một liên quan đến phương trình (1):

$y' + p(x).y = 0$

Nghiệm tổng quát của một phương trình thuần nhất có dạng sau:

$y = C.e^{- int p(x) , dx}$

Bước thứ hai: dạng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) là: :

$y = v(x).e^{- int p(x) , dx}$

Ta có: $y' = v'.e^{- int p(x) , dx} - v.p(x).e^{- int p(x) , dx}$

Thay thế vào phương trình của chúng tôi:

$v'e^{- int p(x) , dx} - v.p(x).e^{- int p(x) , dx} + p(x).v.e^{- int p(x) , dx}= q(x)$

Suy ra: $v' = q(x).e^{int p(x) , dx}$ . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong số 3 cách, cách thứ 3 là cách chúng ta không phải ghi nhớ công thức như cách 1 và 2. Cũng ở cách thứ 3, ở bước 2 chúng ta cắm vào phương trình tìm hàm v (x), chúng ta loại bỏ luôn những gì liên quan đến v (x), chỉ để lại v ‘(x). Vì vậy, nếu chúng ta không thể hủy v (x) khi đưa nó vào, điều đó có nghĩa là chúng ta đã sai hoặc chúng ta đã làm sai ở bước 1. Điều này sẽ giúp bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải và bắt lỗi kịp thời.