& gt; & gt; Xem thêm Các phương pháp xác định yếu tố quyết định của ma trận
& gt; & gt; Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
& gt; & gt; Thuộc tính định thức và định thức ma trận
& gt; & gt; Chứng minh ma trận suy biến và khả nghịch
& gt; & gt; Số lượng của không gian vectơ
Ví dụ 1: Đối với $ a, b $ là ma trận vuông khả nghịch có thứ tự $ n $. Chứng minh rằng nếu $ a + b $ khả nghịch thì $ {{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}} $ cũng khả nghịch.
Giải thưởng. Có $ a ({{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}}) b = a {{a} ^ {- 1}} b + a {{b} ^ {- 1}} b = eb + ae = b + a. $
Vì vậy, $ det (b + a) = det left (a ({{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}}) b right) = det ( a) det ({{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}}) det (b). $
Thực hiện $ det (a) ne 0; det (b) ne 0; det (a + b) ne 0 rightarrow det ({{a} ^ {- 1}} + { {b} ^ {- 1}}) ne 0. $ Chúng ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng $ a $ ma trận vuông có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} _ {k}} {{a} ^ {k}} + {{a} _ {k-1}} {{a} ^ {k-1}} + … + {{a} _ {1}} a + {{a} _ {0}} e = 0 ({{a} _ {0}} ne 0) $ thì ma trận $ a $ khả nghịch và tìm nghịch đảo của nó.
Giải thưởng. Có $ {{a} _ {k}} {{a} ^ {k}} + {{a} _ {k-1}} {{a} ^ {k-1}} +. . + {{a} _ {1}} a = – {{a} _ {0}} e leftrightarrow a left (- frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {0}}} {{a} ^ {k-1}} – frac {{{a} _ {k-1}}} {{{a} _ {0}}} {{a} ^ { k -2}} -…- frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {0}}} e right) = e. $
Điều này cho thấy rằng ma trận $ a $ là khả nghịch và $ {{a} ^ {- 1}} = – frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {0}} } {{a} ^ {k-1}} – frac {{{a} _ {k-1}}} {{{a} _ {0}}} {{a} ^ {k-2}} – …- frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {0}}} e. $
Ví dụ 3: Đối với $ a, b $ là các đơn đặt hàng khác nhau $ n $ và thỏa mãn điều kiện $ {{a} ^ {3}} = {{b} ^ {3}} $ và $ {{a} ^ {2}} b = b {{a} ^ {2}}. $ chứng minh rằng ma trận $ {{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} $ đang thoái hóa.
Giải thưởng. là $ ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) (a + b) = {{a} ^ {3}} + {{a} ^ {2 }} b + {{b} ^ {2}} a + {{b} ^ {3}} = 2 {{a} ^ {3}} + 2 {{b} ^ {2}} a = 2 ({{ a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) a. $
Giả sử $ det ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) ne 0 $ thì $ a + b = 2a leftrightarrow a = b $ (mâu thuẫn với giả định) .
Vì vậy, $ det ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) = 0. $
Ví dụ 4: Vì $ a $ là một ma trận vuông. Điều kiện để $ a $ là ma trận đối xứng là $ {a} ‘= a; điều kiện để $$ a $ là ma trận phản đối xứng là $ {a}’ = – a. $ Chứng minh:
- Tất cả các ma trận phản đối xứng bậc lẻ đều suy biến.
- Mọi bình phương lẻ $ a $ ma trận $ a- {a} ‘$ suy biến.
- Mỗi ma trận vuông có thể được phân tích thành tổng của ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng có cùng bậc.
- Nếu $ a $ là phản đối xứng bậc lẻ thì $ e-a $ là khả nghịch.
- Các giá trị riêng của tất cả các ma trận thực đối xứng đều là thực; mọi giá trị riêng của ma trận thực phản đối xứng đều bằng 0 hoặc thuần ảo.
& gt; & gt; Xem thêm các bài giảng về định thức và tính chất của chúng
Ví dụ 5: Đối với ma trận vuông $ a $ có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ 2 {{a} ^ {3}} – a = e. $, hãy chứng minh rằng ma trận $ e + 2a $ là Invert và tìm nghịch đảo của nó.
Giải thưởng. Có $ (e + 2a) (a {{a} ^ {2}} + ba + ce) = 2a {{a} ^ {3}} + (a + 2b) {{a} ^ {2}} + (b + 2c) a + ce. $
Chúng tôi sẽ chọn $ a, b, c $ sao cho $ 2a {a ^ 3} + (a + 2b) {a ^ 2} + (b + 2c) a = 2 {a ^ 3} – a leftrightarrow left { begin {array} {l} 2a = 2 \ a + 2b = 0 \ b + 2c = – 1 end {array} right. leftrightarrow left { begin {array} {l} a = 1 \ b = – frac {1} {2} \ c = – frac {1} {4} end {array} right .. $
Vì vậy, $ (e + 2a) left ({{a} ^ {2}} – frac {1} {2} a- frac {1} {4} e right) = 2 {{a } ^ {3}} – a- frac {1} {4} e = e- frac {1} {4} e = frac {3} {4} e leftrightarrow (e + 2a) left ( frac {4} {3} {{a} ^ {2}} – frac {2} {3} a- frac {1} {3} e right) = e. $
Điều này chứng tỏ rằng ma trận $ e + 2a $ khả nghịch và có số nghịch đảo $ {{a} ^ {- 1}} = frac {4} {3} {{a} ^ {2}} – frac {2} {3} a- frac {1} {3} e. $
Ví dụ 6: Với $ a, b $ là hai ma trận vuông có thứ tự $ n ge 2 $ thỏa mãn $ ab + a + b = o. $ Chứng minh rằng nếu $ a $ thì có thể đảo ngược, thì $ b $ có thể đảo ngược.
Giải thưởng. Khác với giả định rằng $ {{a} ^ {- 1}} $ tồn tại, như sau:
$ begin {array} {l} ab + a + b = o rightarrow {a ^ {- 1}} left ({ab + a + b} right) = o leftrightarrow {a ^ { – 1}} ab + {a ^ {- 1}} a + {a ^ {- 1}} b = o \ leftrightarrow b + e + {a ^ {- 1}} b = o leftrightarrow b ( e + {a ^ {- 1}}) = – e rightarrow det (b) det (e + {a ^ {- 1}}) = det (- e). end {array} $
Vì vậy, $ det (b) ne 0; det (e + {{a} ^ {- 1}}) ne 0. $ Chúng ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 7: Đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông có cùng thứ tự, sao cho $ ab + 2019a + 2020b = o. $ Chứng minh rằng ma trận $ a + 2020e $ và $ b + 2019e $ có thể hoàn nguyên.
Giải thưởng. Có $ ab + 2019a + 2020b = o leftrightarrow (a + 2020e) (b + 2019e) = 2019.2020e. $
Vì vậy, $ det (a + 2020e). det (b + 2019e) = det (2019.2020e). $
Suy ra $ det (a + 2020e) ne 0; det (b + 2019e) ne 0. $ Chúng ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 8: Đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông có cùng hạng và thứ tự của chúng là lẻ sao cho $ ab = o. $ chứng tỏ rằng có ít nhất một $ phù hợp a + {a} ‘$ và $ b + {b}’ $ suy biến.
Ví dụ 9: Đối với $ a = {{({{a} _ {ij}})} _ {n times n}} $ và $ {{a} _ {ij} } = – 1, forall i = j; {{a} _ {ij}} in left {0,2019 right }, forall i ne j. $ Chứng minh rằng ma trận $ a $ là không thể đảo ngược.
Giải thưởng. Theo định nghĩa, định thức có: $ det (a) – {{(- 1)} ^ {n}} $ chia hết cho $ 2019 $, vì vậy $ det (a) ne 0. $
Ví dụ 10: Đối với $ a, b $ là hai hình vuông có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} ^ {2019}} = o $ và $ b (a-e) = a Ma trận + 3e. $ Chứng minh rằng ma trận $ b $ khả nghịch.
Giải thưởng. Có $ b (a-e) = a + 3e rightarrow det (b) det (a-e) = det (a + 3e). $
Chúng tôi cần chứng minh $ det (a-e) ne 0; det (a + 3e) ne 0. $
Giả định:
$ -e = – {{e} ^ {2019}} = {{a} ^ {2019}} – {{e} ^ {2019}} = (a-e) ({{a} ^ {2018} } + e {{a} ^ {2017}} + … + {{e} ^ {2017}} a + {{e} ^ {2018}}). $
Sử dụng $ det (a-e) ne 0. $ để nhận định thức ở cả hai phía
còn $ {{(3e)} ^ {2019}} = {{a} ^ {2019}} + {{(3e)} ^ {2019}} = (a + 3e) ({{a)} ^ {2018}} – 3e {{a} ^ {2017}} + … + {{(3e)} ^ {2018}}). $
Sử dụng $ det (a + 3e) ne 0. $ để nhận định thức ở cả hai phía
Ví dụ 11: Đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} ^ {2019}} = o $ và $ a + 2019e = ab. $ Chứng minh rằng ma trận $ b $ suy biến.
Giải thưởng. $ {{a} ^ {2019}} = o rightarrow {{ left ( det (a) right)} ^ {2019}} = 0 leftrightarrow det (a) = 0. $
Biến đổi $ 2019b = ab-a = a (b-e) rightarrow {{2019} ^ {n}} det (b) = det (a) det (b-e) = 0 leftrightarrow det (b ) = 0. $
Ví dụ 12: Đối với $ a $ là một ma trận vuông có bậc $ n. $ Chứng minh rằng các ma trận $ e-a $ và $ e + a $ khả nghịch nếu tồn tại số tự nhiên $ m $ sao cho $ {{a} ^ {m}} = o $.
Giải thưởng. Có $ e = {{e} ^ {m}} = {{e} ^ {m}} + {{a} ^ {m}} = (e + a) ({{e} ^ {m-1}} – {{e} ^ {m-2}} a + … + {{a} ^ {m-1}}). $
Sử dụng $ det (e + a) ne 0. $ để tính định thức ở cả hai phía
Vì $ {{a} ^ {m}} = 0 rightarrow {{a} ^ {2m + 1}} = 0 rightarrow e = {{e} ^ {2m + 1}} = {{e } ^ {2m + 1}} – {{a} ^ {2m + 1}} = (e-a) ({{e} ^ {2m}} + {{e} ^ {2m-1}} a + … + {{a} ^ {2m}}). $
Sử dụng $ det (e-a) ne 0. $ để nhận định thức ở cả hai phía
Ví dụ 13: Cho $ a, b $ là hai ma trận vuông có thứ tự $ n $ sao cho $ ab = ba $ và tồn tại các số nguyên dương $ m, p $ sao cho $ {{ a} ^ {m}} = o, {{b} ^ {p}} = o. $ Chứng minh rằng ma trận $ e-a-b $ và $ e + a + b $ khả nghịch.
Giải thưởng. Có $ ab = ba $ nên $ {{(a + b)} ^ {m + p}} = sum limit_ {k = 1} ^ {m + p} {c_ {m + p } ^ {k} {{a} ^ {m + p-k}} {{b} ^ {k}}} = o. $
Vì vậy, theo Ví dụ 12, có một cái gì đó để chứng minh.
Ví dụ 14: Đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông thực thỏa mãn lớp 2019:
$ det (a) = det (a + b) = det (a + 2b) = … = det (a + 2019b) = 0. $
Chứng minh rằng với mỗi $ x, y in mathbb {r} $, chúng ta có $ det (xa + yb) = 0. $
Ví dụ 15: Đối với ma trận vuông $ a $ có thứ tự $ n. $, hãy chứng minh rằng nếu tồn tại một số nguyên dương $ m $ thì $ {{(a + e)} ^ { m}} = o $ thì ma trận $ a $ khả nghịch.
Ví dụ 16: Đối với ma trận vuông $ a $ có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} ^ {2019}} = 2019a. $, hãy chứng minh rằng ma trận $ a-e $ có thể nghịch ngợm.
Giải thưởng. Thay đổi các giả định:
$ begin {array} {l} {a ^ {2019}} – 2019a = o leftrightarrow ({a ^ {2019}} – {e ^ {2019}}) – 2019 (a – e) = 2018e \ leftrightarrow (a – e) left ({{a ^ {2018}} + {a ^ {2017}} + … + a + e – 2019e} right) = 2018e \ leftrightarrow ( a – e) left ({{a ^ {2018}} + {a ^ {2017}} + … + a – 2018e} right) = 2018e. end {array} $
Sử dụng $ det (a-e) ne 0. $ để nhận định thức ở cả hai phía
Hiện tại vted.vn cung cấp 2 khóa học Toán nâng cao 1 và Toán nâng cao 2 dành cho sinh viên năm nhất ở tất cả các trường:
- Key: pro s1 – Toán nâng cao 1 – Đại số tuyến tính
- Key: pro s2 – Toán cao cấp 2 – Kiểm tra lời giải
Các bài học cung cấp đầy đủ kiến thức và lời giải cho các bài tập toán đi kèm với mỗi bài học. Hệ thống bài tập thực hành dưới dạng tự luận có lời giải chi tiết kèm theo trên website sẽ giúp các em tiếp thu nhanh và vận dụng những kiến thức đã học một cách vững chắc. Mục tiêu của khóa học là giúp học sinh đạt kết quả trong kỳ thi cuối cấp môn Toán nâng cao 1 và Toán cao cấp 2 của Trường Kinh tế.
Sinh viên từ các trường đại học sau có thể học sự kết hợp này:
– Đại học Kinh tế Quốc dân
– Bộ Ngoại thương
– Trường Kinh doanh
– Trường Tài chính
– Học viện Ngân hàng
– Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội
Và các trường đại học khác, các chuyên ngành kinh tế tại các trường đại học khác trên cả nước …
