1. Định nghĩa Cổ điển về Xác suất
Giả sử (a ) là một sự kiện liên quan đến thử nghiệm (t ) và thử nghiệm (t ) với một số hữu hạn các kết quả có thể xảy ra, đồng khả thi. Sau đó, chúng tôi gọi tỷ lệ ( frac {n (a)} {n ( omega)} ) là xác suất của sự kiện (a ), được ký hiệu là
(p (a) ) = ( frac {n (a)} {n ( omega)} )
Đây,
+) (n (a) ) là số phần tử trong tập hợp (a ) và cũng là số kết quả có thể có của thử nghiệm (t ) thuận lợi cho sự kiện (a ) );
+) (n (Ω) ) là số phần tử trong không gian mẫu (Ω ) và số kết quả thử nghiệm có thể có (t ).
Ví dụ:
Một khuôn ngẫu nhiên của cùng một bộ quần áo và số dư được lăn. Tìm xác suất để một mặt trông có thể chia hết cho (3 ).
Mô tả:
Không gian mẫu ( omega = left {{1; 2; 3; 4; 5; 6} right } )
( rightarrow n left ( omega right) = 6 ).
Các sự kiện (a: ) xảy ra, là số chia hết cho (3 ).
Sau đó, (a = left {{3; 6} right } )
( rightarrow n left (a right) = 2 ).
Vì vậy, xác suất (p left (a right) = frac {{n left (a right)}} {{n left ( omega right)}} = frac {2} { 6} = frac {1} {3} ).
2. Các tính chất cơ bản của xác suất
Định lý 2.1
a) (p ( phi) = 0; p (Ω) = 1 ).
b) (0 ≤ p (a) ≤ 1 ), cho tất cả các sự kiện (a ).
c) Nếu (a ) và (b ) xung đột, thì chúng ta có
(p (a ∪ b) = p (a) + p (b) ) (công thức cộng xác suất).
2.2 Hệ quả
Đối với tất cả các sự kiện (a ), chúng ta luôn có: (p ) ( ( overline {a} )) = (1 – p (a) ).
3. Hai sự kiện riêng biệt
Định nghĩa
Hai sự kiện (liên quan đến cùng một thử nghiệm) là độc lập nếu và chỉ khi sự xuất hiện hoặc không xảy ra của một sự kiện không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của sự kiện kia (nói cách khác là không ảnh hưởng đến xác suất của sự kiện kia) xảy ra).
Lý thuyết
Nếu (a, b ) là hai sự kiện (liên quan đến cùng một thử nghiệm) sao cho (p (a)> 0 ),
(p (b) & gt; 0 ) thì chúng ta có:
a) (a ) và (b ) là hai sự kiện độc lập nếu và chỉ khi:
(p (a. b) = p (a). p (b) )
Lưu ý: Các kết quả trên chỉ có khi chỉ kiểm tra tính độc lập của 2 sự kiện.
b) Nếu (a ) và (b ) độc lập, thì các cặp sự kiện sau cũng độc lập:
(a ) và ( overline {b} ), ( overline {a} ) và (b ), ( overline {a} ) và ( overline { b} ).
Ví dụ:
Hai viên xúc xắc đồng đều và cân đối. Tính xác suất của các sự kiện sau:
(a: ) “Lần xuất hiện đầu tiên của (4 ) dấu chấm”
(b: ) “Lần xuất hiện thứ hai của (4 ) điểm”
Hai sự kiện độc lập (a ) và (b ) có thể được suy ra từ điều này.
Nguyên tắc
Không gian mẫu: ( omega = left {{ left ({i; j} right), i, j in mathbb {z}, 1 le i le 6.1 le j le 6} đến } )
( rightarrow n left ( omega right) = 6.6 = 36 ).
Sự kiện (a: ) “Lần xuất hiện đầu tiên của (4 ) điểm”
(a = left {{ left ({4; 1} right), left ({4; 2} right), left ({4; 3} right), left ({4; 4} right), left ({4; 5} right), left ({4; 6} right)} right } )
( rightarrow n left (a right) = 6 )
( rightarrow p left (a right) = frac {{n left (a right)}} {{n left ( omega right)}} = frac {6} { {36}} = frac {1} {6} ).
Sự kiện (b: ) “Lần xuất hiện thứ hai của (4 ) điểm”
(b = left {{ left ({1; 4} right), left ({2; 4} right), left ({3; 4} right), left ({4; 4} right), left ({5; 4} right), left ({6; 4} right)} right } )
( rightarrow n left (b right) = 6 )
( rightarrow p left (b right) = frac {{n left (b right)}} {{n left ( omega right)}} = frac {6} { {36}} = frac {1} {6} ).
Gọi sự kiện (c = a.b ): “Hai lần xuất hiện của khuôn mặt (4 )”.
Sau đó (c = left {{ left ({4; 4} right)} right } )
( rightarrow p left ({a.b} right) = frac {{n left (c right)}} {{n left ( omega right)}} = frac {1 {{36}} ).
Dễ dàng thấy rằng (p left ({a.b} right) = p left (a right) .p left (b right) ) nên (a, b ) là hai cài đặt sự kiện độc lập.
loigiaihay.com